Заводится и через одну-две секунды глохнет

Народ, помогите пожалуйста!

Проблема такая:
Сегодня утром сажусь - машина заводится, и через одну-две секунды глохнет. После того, как глохнет, на приборной панели остаётся гореть красный значок аккумулятора (не на мультидисплее, а именно на приборной панели!) После 15-20 таких запусков, оранжевый значок аккумулятора, после того, как глохнет, начинает мигать и на мультидисплее (ну это наверное логично - 20 раз подряд запускать двигатель - конечно аккумулятор разряжается за это время). При этом сразу скажу - метка блэк баг считывается нормально и подаёт звуковой сигнал. И, если завожу повторно не трогая ключа (т.е. он остаётся в положении II), она вообще не заводится (т.е. стартер крутит, но двигатель не запускается). Приходится выворачивать ключ в положение 1 или 0 и потом опять в положение 2, и вот тогда уже заводится, но опять же таки тут же глохнет.
В итоге, раза с 25-го завелась и не заглохла. Во время движения (ехал полтора часа до работы) не глохнет и двигатель работает хорошо. Приехал на работу, заглушил. Минут через 20 вернулся в машину, попробовал завести - заводится с первого раза и не глохнет, всё отлично. Т.е., я так понимаю, на теплый двигатель этой проблемы не возникает.

Машину купил дня четыре назад, и она с самого начала подобным образом себя вела - вчера - раза с 10-го только завелась и не заглохла. В пятницу - вообще раза с 3-го. Машина не новая, 2006 года с пробегом в 37 тыщ. Покупал в салоне, в диагностике было сказано, что слабый заряд аккумулятора, и требуется перезарядка аккумулятора. Я уже был уверен, что эта проблема из-за аккумулятора, но сейчас мне коллега на работе сказал, что раз она заводится нормально, то это не в аккумуляторе дело. Мол, если бы проблема была в аккумуляторе, она бы вообще не заводилась - а стартер-то нормально крутится!

Кто-нибудь знает, в чём дело-то может быть?
Аккумулятор это всё-же или что-то другое? И, если другое, то что это?